Matematika adalah alat yang dapat membantu memecahkan berbagai permasalahan dalam kehidupan, seperti pendidikan, kesehatan, industri, pemerintahan, industri, sains dan sebagainya. Berdasarkan peranan tersebut, ada pendapat yang mengatakan bahwa matematika merupakan pelayan dan sekaligus raja dari ilmu-ilmu lain. Sebagai pelayan, matematika adalah ilmu dasar yang mendasari dan melayani berbagai ilmu pengetahuan lain. Sedangkan sebagai raja, perkembangan matematika tak tergantung pada ilmu-ilmu lain, artinya matematika mempunyai bahasa dan symbol tersendiri.
Di era globalisasi ini diperlukan sumber daya manusia yang handal dan mampu berkompetisi secara global, sehingga diperlukan sumber daya manusia yang berkualitas, mampu berikir secara kreatif, sistematis, logis, dan konsisten.
Sifat-sifat yang dikembangkan dalam matematika tersebut di atas sejalan dengan sifat-sifat kemandirian dalam kewirausahaan sebagaimana diuriakan berikut. Kewirausahaan merupakan sikap mental dan jiwa yang selalu aktif dan kreatif, berdaya, mencipta, dan berkarsa dalam rangka meningkatkan kegiatan usahanya. Seorang yang memiliki jiwa dan sikap wirausaha selalu berkreasi dan berinovasi tanpa henti, karena dengan berkreasi dan berinovasi semua peluang dapat diperolehnya. Untuk menjadi seorang wirausaha yang tangguh diperlukan pengetahuan matematika yang baik. Pengetahuan tersebut antara lain digunakan untuk menghitung berapa biaya yang dibutuhkan untuk modal usaha, berapa tenaga kerja kerja, berapa peluang berhasil jika menempuh cara tertentu dan sebagainya. Singkat kata seorang wirausahwan perlu menguasai matematika secara baik.
Berdasarkan uraian di atas, marilah kita membahas salah satu bagian dari matematika yaitu bilangan bulat, operasi-operasi dan sifat-sifat operasi dalam bilangan bulat serta bagaimana cara mengajarkannya.
1. Pengertian
Untuk setiap bilangan asli n didefinisikan bilangan –n dibaca “negatif n” atau “invers penjumlahan dari n” sehingga berlaku n + (-n) = (-n) + n = 0. Jadi diperoleh himpunan bilangan negatif {-n | n bilangan asli}.
Himpunan bilangan bulat adalah gabungan himpunan bilangan negatif, himpunan bilangan nol, dan himpunan bilangan asli, yaitu {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}. Tujuan pembentukan bilangan bulat adalah agar operasi pengurangan bersifat tertutup.
Untuk pembahasan selanjutnya, himpunan bilangan bulat diberi simbol I, jadi I = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
2. Operasi-operasi Pada Bilangan Bulat
a. Operasi Penjumlahan
Sifat-sifat penjumlahan penjumlahan:
- Tertutup, yaitu untuk setiap a, b Î I berlaku a + b Î I.
- Komutatif (pertukaran), yaitu untuk setiap a, b Î I berlaku a + b = b + a.
- Assosiatif (pengelompokan), yaitu untuk setiap a, b, c Î B berlaku (a + b) + c = a + (b + c).
- Mempunyai elemen identitas 0 yaitu untuk setiap a Î B berlaku a + 0 = 0 + a = a.
- Setiap bilangan bulat mempunyai invers aditif. Invers dari bilangan bulat a adalah –a dan berlaku a + (-a) = (-a) + a = 0
b. Operasi Pengurangan
Diketahui a, b dan k bilangan-bilangan bulat. Bilangan a dikurangi b, ditulis a – b adalah bilangan bulat k jika dan hanya jika a = b + k.
Sifat-sifat yang berkaitan:
- Bilangan bulat tertutup terhadap pengurangan, yaitu jika a dan b bilangan-bilangan bulat maka a - b juga bilngan bulat.
- Jika a dan b bilangan-bilangan bulat maka a – b = a + (-b)
- Jika a dan b bilangan-bilangan bulat maka a – (-b) = a + b.
- Jika a bilangan bulat maka –(-a) = a.
c. Operasi Perkalian
Sifat-sifat operasi perkalian pada bilangan bulat
- Tertutup, yaitu untuk setiap a, b Î I berlaku a Î b Î I
- Komutatif (pertukaran), aitu untuk setiap a, b Î B berlaku a Î b = b Î a
- Assosiatif (pengelompokan), yaitu untuk setiap a, b, c Î I, berlaku: (a Î b) Î c = a Î (b Î c)
- Mempunyai elemen identitas 1, yaitu untuk setiap bilangan bulat a berlaku a Î 1 = 1 Î a = a.
- Sifat bilangan nol yaitu a.0 = 0.a = 0, untuk setiap bilangan bulat a.
- Sifat distributif (penyebaran). a) a x (b + c) = (a x b) + (a x c), dan disebut distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan. b) (b + c) x a = (b x a) + (c x a) dan disebut distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan
d. Operasi Pembagian
Diketahui a, b dan k bilangan-bilangan bulat dengan b Î 0. Pembagian a oleh b, ditulis a : b, adalah bilangan bulat k (jika ada) sehingga berlaku: a : b = k Û a = b x k.
Pembagian pada bilangan bulat tidak tertutup, sebab 5 dan 2 masing-masing bilangan bulat, tetapi 5 : 2 bukan bilangan bulat.
3. Urutan Operasi
Apabila dalam suatu operasi hitung, terdapat beberapa operasi hitung secara bersama-sama, maka urutan operasinya mengikuti aturan berikut:
- Perkalian dan pembagian lebih kuat daripada penjumlahan dan pengurangan.
- Perkalian dan pembagian sama kuat. Apabila perkalian dan pembagian muncul secara bersama-sama, maka urutan operasinya dari sebelah kiri, yaitu yang muncul di sebelah kiri harus dioperasikan terlebih dahulu.
- Penjumlahan dan pengurangan sama kuat. Apabila penjumlahan dan pengurangan muncul secara bersama-sama, maka urutan operasinya dari sebelah kiri, yaitu yang muncul di sebelah kiri harus dioperasikan terlebih dahulu.
Contoh 1
48 – 25 + 72 : 12 x 3 = 48 – 25 + 6 x 3 = 48 –25 + 18 = 23 + 18 = 41.
4. Bilangan Genap dan Bilangan Ganjil
Definisi 1
Misal a bilangan bulat.
- Bilangan bulat a disebut bilangan genap jika terdapat bilangan bulat m sehingga berlaku a = 2 x m.
- Bilangan bulat a disebut bilangan ganjil jika terdapat bilangan bulat m sehingga berlaku a = 2 x m + 1.
- 6 bilangan genap, sebab terdapat bilangan bulat 3 sehingga berlaku 6 = 2 x 3.
- (-18) bilangan genap, sebab terdapat bilangan bulat (-9) sehingga berlaku (-18) = 2 x (-9).
- 0 bilangan genap, sebab terdapat bilangan bulat 0 sehingga berlaku 0 = 2 x 0.
- 7 bilangan ganjil, sebab terdapat bilangan bulat 3 sehingga berlaku 7 = 2 x 3 + 1.
- (-19) bilangan ganjil, sebab terdapat bilangan bulat (-10) sehingga berlaku (-19) = 2 x (-10) + 1.
Berdasarkan definisi tersebut di atas jelas bahwa himpunan semua bilangan genap adalah {....-4, -2, 0, 2, 4....}dan himpunan semua bilangan ganjil adalah {...-5, -3, -1, 1, 3, 5,...}
Teorema 1
Misal a dan b bilangan-bilangan bulat.
- Jika a dan b masing-masing merupakan bilangan genap, maka a + b juga merupakan bilangan genap.
- Jika a dan b merupakan bilangan ganjil, maka a + b merupakan bilangan genap.
- Jika a bilangan genap dan b bilangan ganjil, maka a + b merupakan bilangan ganjil.
- Jika a dan b masing-masing merupakan bilangan genap, maka a x b juga merupakan bilangan genap.
- Jika a dan b masing-masing merupakan bilangan ganjil, maka a x b juga merupakan bilangan ganjil.
- Jika a bilangan genap dan b bilangan ganjil, maka a x b merupakan bilangan genap.
5. Pembelajaran Penjumlahan Pada Bilangan Bulat
a. Penjumlahan dengan Peragaan Gerakan Model
Penjumlahan pada bilangan bulat dapat dilakukan peragaan gerakan suatu model, yaitu dengan gerakan maju atau gerakan naik dengan ketentuan sebagai berikut.
1) Arah menghadap model.
a) Positif : Model menghadap ke kanan atau ke atas.
b) Negatif : Model menghadap ke kiri atau ke bawah.
2) Titik permulaan selalu dimulai dari titik yang mewakili bilangan 0.
Contoh 3. Hitunglah jumlah dari 6 + (-4) dengan peragaan gerakan!
Penyelesaian:
Tetapkan posisi awal model sebagai titik nol, lalu hadapkan model ke kanan (dilihat dari posisi siswa). Kemudian gerakkan/langkahkan model ke kanan sebanyak 6 langkah. Setelah itu, balikkan arah model (hadapkan ke kiri) kemudian gerakkan/langkahkan model maju sebanyak 4 langkah. Siswa diminta untuk memperhatikan posisi terakhir model berada, yaitu di titik 2. Jadi 6 + (-4) = 2.
b. Penjumlahan dengan Menggunakan Garis Bilangan
Kita dapat memikirkan penjumlahan bilangan bulat sebagai suatu gerakan atau perpindahan sepanjang suatu garis bilangan. Suatu bilangan bulat positif menggambarkan gerakan ke arah kanan, sedangkan bilangan bulat negatif menggambarkan gerakan ke arah kiri. Titik permulaan selalu dimulai dari titik yang mewakili bilangan 0.
Contoh 4. Hitunglah jumlah dari 6 + (-2) dengan menggunakan garis bilangan !
Penyelesaian :
6 + (-2) berarti suatu gerakan yang di mulai dari 0, bergerak 6 satuan ke kanan dan dilanjutkan dengan bergerak 2 satuan lagi ke kiri. Gerakan ini berakhir di titik yang mewakili bilangan 4. Gerakan tersebut apabila dibuat diagramnya sebagai berikut.
Jadi 6 + (-2) = 4
c. Penjumlahan dengan Menggunakan Muatan
Penjumlahan dengan menggunakan muatan dapat divisualisaikan dengan potongan karton yang berwarna, misal warna hitam dan yang lain warna putih atau warna lain yang sesuai dengan selera masing-masing. Penggunaan warna perlu disepakati pula, misal karton berwarna hitam dianggap mewakili bilangan bulat negatif, sedang karton yang berwarna putih dianggap mewakili bilangan bulat positif, sebagai ilustrasi dinyatakan sebagai berikut berikut.
Contoh 5. Hitunglah 7 + (-3) !
Penyelesaian :
Ambillah 7 karton putih dan kemudian ambil lagi 3 karton hitam. Pasang-pasangkan masing-masing karton hitam dengan satu karton putih sehingga kira-kira seperti keadaan berikut.
Selanjutnya, amati dan hitung banyaknya karton yang tidak mempunyai pasangan. Ternyata ada 4 karton putih yang tidak mempunyai pasangan. Karena karton putih menyatakan bilangan positif, diperoleh 7 + (-3) = 4.
Contoh 6. Selesaikan (-2) + (-4) !
Penyelesaian :
Ambil 2 karton hitam, kemudian ambil lagi 4 karton hitam. Kumpulkan karton-karton tersebut pada satu wadah dan hitung banyaknya seluruh karton hitam yang ada dalam wadah tersebut. Ternyata ada 6 karton hitam. Karena karton hitam menyatakan bilangan negatif, maka diperoleh (-2) + (-4) = - 6.
6. Pembelajaran Pengurangan Pada Bilangan Bulat
a. Pengurangan dengan Peragaan Gerakan Model
Penjumlahan pada bilangan bulat dapat dilakukan peragaan gerakan suatu model, yaitu dengan gerakan mundur atau gerakan turun dengan ketentuan sebagai berikut.
1) Arah menghadap model.
a) Positif : Model menghadap ke kanan atau ke atas.
b) Negatif : Model menghadap ke kiri atau ke bawah.
2) Titik permulaan selalu dimulai dari titik yang mewakili bilangan 0.
Contoh 7. Hitunglah hasil dari dari 6 - (-4) dengan peragaan gerakan!
Penyelesaian :
Tetapkan posisi awal model sebagai titik nol, lalu hadapkan model ke kanan (dilihat dari posisi siswa). Kemudian gerakkan/langkahkan model ke kanan sebanyak 6 langkah. Setelah itu, balikkan arah model (hadapkan ke kiri) kemudian gerakkan/langkahkan model mundur sebanyak 4 langkah. Siswa diminta untuk memperhatikan posisi terakhir model berada, yaitu di titik 10.
Jadi 6 - (-4) = 10.
b. Pengurangan dengan Menggunakan Garis Bilangan
Untuk pengurangan dengan garis bilangan, digunakan konsep vektor. Pengurangan dengan metode ini dilakukan denga cara ujung vektor pengurang dihimpitkan dengan ujung vektor yang dikurangi. Hasilnya adalah vektor yang dimulai dari pangkal vektor yang dikurangi sampai ke pangkal vektor pengurang.
Contoh 8. Hitunglah (-4) – 3.
Penyelesaian :
Jadi (-4) – 3 = -7
Contoh 9. Selesaikanlah (-7) – (-9) !
Penyelesaian :
Jadi (-7) – (-9) = 2
c. Pengurangan dengan Menggunakan Muatan
Pengurangan dengan menggunakan muatan dilakukan dengan cara dan perlengkapan yang sama dengan penjumlahan dengan menggunakan muatan.
Contoh 10. Hitunglah 3 – 7.
Penyelesaian :
Sediakan 3 karton berbeda bertanda “ + “. Karena 3 dikurangi 7, maka ambillah 7 karton bertanda “ + “ dari 3 karton bertanda “ + “ yang sudah disediakan. Ternyata tidak bisa, oleh karena itu kita nyatalan 3 sebagai berikut :
Sekarang, ambillah 7 karton bertanda “ + “ dari kumpulan karton yang menyatakan bilangan 3 tersebut. Yang tertinggal atau tersisa adalah 4 karton bertanda “ – “, yang menyatakan bilangan - 4. Jadi 3 – 7 = - 4
Contoh 11. Carilah (- 3) – 5.
Penyelesaian :
Sediakan 3 karton berbeda bertanda “ - “. Karena (-3) dikurangi 5, maka ambillah 5 karton bertanda “ + “ dari 3 karton bertanda “ - “ yang sudah disediakan. Jelas tidak dapat, agar dapat dilakukan maka (-3) kita nyatakan sebagai berikut :
Sekarang, ambillah 5 karton bertanda “ + “ dari kumpulan karton yang menyatakan bilangan (-3) tersebut. Ternyata sisa 8 karton yang bertanda “ – “, yang menyatakan bilangan - 8. Jadi (-3) – 5 = - 8
7. Pembelajaran Perkalian pada Bilangan Bulat
Untuk menanamkan konsep perkalian pada bilangan bulat, yang melibatkan bilangan bulat negatif agar sukar dilakukan dengan menggunakan alat peraga. Pada batas-batas tertentu, hal tersebut dapat diperagakan dengan menggunakan garis bilangan, khusunya untuk perkalian yang pengalinya meupakan bilangan bulat positif. Cara lain untuk menanamkan konsep perkalian pada bilangan bulat adalah dengan menggunakan pola bilangan.
a. Perkalian Bilangan Bulat dengan Pengali Bilangan Bulat Positif dan Terkali Bilangan Bulat
Negatif
Negatif
Contoh 12. Hitunglah 4 x (-2).
Penyelesaian :
Perhatikan bahwa 4 x (-2) = (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = (-8).
b. Perkalian Bilangan Bulat dengan Pengali Bilangan Bulat Negatif dan Terkali Bilangan Bulat
Positif
Positif
Untuk menjelaskan perkalian jenis ini, sebaiknya menggunakan pola bilangan, dan yang perlu diperhatikan adalah para siswa perlu diingatkan kembali tentang perkalian pada bilangan cacah.
Contoh 13. Carilah (-3) x 4.
Penyelesaian :
Perhatikan pola bilangan berikut :
Amati bahwa faktor kedua (terkali) dalam perkalian ini adalah tetap 4, sedangkan faktor pertama (pengali) berkurang satu demi satu. Ternyata hal ini diikuti berkurangnya hasil perkalian empat demi empat. Berdasarkan pola ini diperoleh (-3) x 4 = 12.
c. Perkalian Bilangan Bulat dengan Pengali dan Terkali Masing-Masing Bilangan Bulat
Negatif
Negatif
Untuk menanamkan konsep perkalian pada bagian ini, dipersyaratkan siswa harus sudah menguasai perkalian bilangan bulat yang pengalinya positif dan terkali negatif atau pengalinya negatif dan terkali positif. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.
Contoh 14. Carilah (-3) x (-4).
Pembahasan:
Perhatikan pola bilangan berikut :
Amati bahwa pada pola bilangan sebelah kiri, terkali tetap (-4) sedangkan pengali berkurang satu satu demi satu. Ternyata hasil kalinya bertambah empat demi empat. Pada pola bilangan sebelah kanan, pengali tetap (-3) sedangkan terkali berkurang satu demi satu. Ternyata hasil kalinya bertambah tiga demi tiga. Kedua pola bilangan tersebut memberikan hasil yang sama yaitu (-3) x (-4) = 12.
8. Pembelajaran Pembagian Pada Bilangan Bulat
Penanaman konsep pembagian pada bilangan bulat sukar ditunjukkan dengan menggunakan alat peraga. Salah satu caranya dapat dilakukan dengan menggunakan konsep perkalian bilangan bulat dan didefinisi pembagian bilangan bulat.
Contoh 15. Hitunglah 12 : (-3).
Pembahasan:
Karena 12 : (-3) = ekuivalen dengan 12 = x (-3) maka untuk mencari hasil dari 12: (-3) dapat dilakukan dengan mencari bilangan bulat yang apabila dikalikan dengan (-3) hasilnya 12. Ternyata (-4) x (-3) = 12. Jadi 12 : (-3) = -4
Contoh 16. Selesaikan (-10) : 5.
Penyelesaian :
Karena (-10) : 5 = ekuivalen dengan (-10) = 5 x maka untuk mencari hasil dari 12: (-3) dapat dilakukan dengan mencari bilangan bulat yang apabila dikalikan dengan 5 hasilnya (-10). Ternyata 5 x (-2) = -10. Hak ini berarti (-10) : 5 = -2
Selanjutnya akan dibahas cara menjelaskan pembagian bilangan bulat yang pembaginya nol. Dalam hal ini akan ditinjau dua kasus yaitu kasus pertama terbagi bukan nol dan kasus kedua terbagi nol.
Sebagai contoh, carilah 9 : 0. Berdasarkan uraian di muka 9 : 0 = ekuivalen dengan 9 = x 0. Kemudian siswa diarahkan untuk mencari bilangan bulat yang apabila dikalikan dengan nol hasilnya 9. Ternyata tidak ada bilangan bulat yang memenuhi …… x 0 = 9. Hal ini berarti tidak ada bilangan bulat yang memenuhi 9 : 0. Selanjutnya guru menjelaskan bahwa dalam matematika dikatakan 9 : 0 tidak didefinisikan.
Selanjutnya bagaimana dengan 0 : 0 ?. Karena 0 : 0 = ekulivalen dengan 0 = 0 x , maka siswa diarahkan untuk mencari bilangan bulat yang apabila dikalikan dengan nol hasilnya nol. Ternyata semua bilangan bulat, apabila dikalikan nol hasilnya nol. Hal ini berarti 0 : 0 tidak mempunyai hasil yang tunggal. Karena setiap pembagian harus mempunyai hasil yang tunggal dan 0 : 0 tidak mempunayi hasil yang tunggal, dalam matematika dikatakan 0 : 0 tidak didefinisikan
Tidak ada komentar:
Posting Komentar