Soal UH Menyelesaikan Masalah FPB dan KPK

1. Resa mengunjungi perpustakaan setiap 12 hari, Wawan mengunjungi perpustakaan setiap 

    15 hari, dan Vani mengunjungi perpustakaan setiap 18 hari. Mereka bertiga berkunjung ke 
    perpustakaan bersama pada hari Senin 22 April 2010. Mereka akan pergi ke 
    perpustakaan bersama lagi pada hari dan tanggal ....

• a. Jumat 19 Desember 2010
• b. Sabtu 19 Desember 2010
• c. Jumat 18 Desenber 2010
• d. Sabtu 18 Desember 2010
• Jawaban: b

12 = 2² × 3               

15 = 3 × 5

18 =  2 × 3²

KPK dari 12, 15, dan 18 = 2² × 3² × 5 = 4 × 9 × 5 = 180 

Jadi, Resa, Wawan, dan Vani akan berkunjung ke perpustakaan bersama 180 hari lagi setelah hari Senin 22 April 2010, yaitu hari Sabtu 19 Desember 2010.

2. Pada pukul 08.15 lampu A dan lampu B menyala bersama-sama. Jika lampu A dan B 
    menyala setiap 6 detik dan 9 detik, pukul berapa kedua lampu akan menyala bersama-
    sama untuk yang kedua kalinya?

• a. 09.09
• b. 09.54
• c. 08.33
• d. 08.18

6 = 2 × 3

9 = 3²

KPK dari 6 dan 9 = 2 × 3² = 18

Kedua lampu akan menyala bersama-sama setiap 18 detik dari pukul 08.15.

08.15 + 18 detik = 08.33

Jadi, kedua lampu akan menyala bersama untuk yang kedua kalinya pukul 08.33.

3. Pada hari Selasa, Tuti dan Dina pergi berenang bersama. Jika Tuti dan Dina masing-
    masing berenang setiap 4 hari dan 6 hari, mereka berenang bersama-sama lagi pada hari 
    ....

• a. Kamis
• b. Jumat
• c. Sabtu
• d. Minggu

4 = 2²

6 = 2 × 3

KPK dari 4 dan 6 = 2² × 3 = 12

Tuti dan Dina pergi berenang bersama setiap 12 hari mulai dari hari Selasa.

Jadi, Tuti dan Dina pergi berenang bersama lagi 12 hari setelah hari Selasa, yaitu hari Minggu.

4. Dalam gudang terdapat 120 karung beras dan 84 karung gula pasir. Pemilik gudang akan 
    mengirimkan beras dan gula pasir tersebut ke beberapa toko. Setiap toko mendapatkan 
    beras dan gula pasir dalam jumlah yang sama. Berapa jumlah toko paling banyak yang 
    dapat dikirim beras dan gula pasir itu?

• a. 4 toko
• b. 6 toko
• c. 8 toko
• d. 12 toko

120 = 2³ × 3 × 5

84 = 2² × 3 × 7

FPB dari 120 dan 82 = 2² × 3 = 12

Jadi, jumlah toko paling banyak yang dapat dikirim beras dan gula pasir adalah 12 toko.

5. Paman memiliki 34 buah jeruk, 51 buah apel, dan 85 buah pir. Paman ingin membuat 
    parsel buah dari buah-buahan yang dimilikinya. Setiap parsel berisi ketiga buah itu dalam 
    jumlah yang sama. Berapa parsel yang dapat dibuat oleh paman?

• a. 17 parsel
• b. 18 parsel
• c. 19 parsel
• d. 20 parsel

34 = 2 × 17

51 = 3 × 17

85 = 5 × 17

FPB dari 34, 51, dan 85 = 17

Jadi, banyak parsel yang dapat dibuat paman ada 17 parsel.

6. Pada hari Minggu, 9 Januari 2011, Irwan dan Satrio bersama-sama memancing di sungai.  
    Irwan memancing di sungai setiap 9 hari sekali dan Satrio memancing di sungai setiap 12 
    hari sekali. Kapan Irwan dan Satrio pergi memancing di sungai lagi?

• a. Senin, 15 Februari 2011
• b. Senin, 14 Februari 2011
• c. Selasa, 15 Februari 2011
• d. Selasa, 14 Februari 2011

9 = 3²

12 = 2² × 3

KPK dari 9 dan 12 = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

Jadi, Irwan dan Satrio memancing bersama 36 hari setelah hari Minggu, 9 Januari 2011, yaitu hari Senin, 14 Februari 2011.

7. Heru mempunyai 40 kartu pos dalam negeri dan 64 kartu pos luar negeri. Heru akan 
    menyimpan kartu-kartu pos tersebut dalam beberapa album. Setiap album berisi kartu 
    pos dalam negeri dan luar negeri sama banyak. Berapa jumlah masing-masing kartu pos 
    dalam negeri dan luar negeri pada setiap album?

• a. 20 kartu pos dalam negeri dan 16 kartu pos luar negeri
• b. 16 kartu pos dalam negeri dan 20 kartu pos luar negeri
• c. 5 kartu pos dalam negeri dan 8 kartu pos luar negeri
• d. 8 kartu pos dalam negeri dan 5 kartu pos luar negeri

40 = 2³ × 5

64 = 26

FPB dari 40 dan 64 = 2³ = 8

Banyak album untuk menyimpan kartu pos ada 8 buah.

Banyak kartu pos dalam negeri = 40 : 8 = 5

Banyak kartu pos luar negeri = 64 : 8 = 8

Jadi, dalam setiap album dapat menyimpan 5 kartu pos dalam negeri dan 8 kartu pos luar negeri.

8. Budi membeli jeruk 16 kg dan apel 28 kg. Buah-buahan itu akan disimpan dalam beberapa 
    kardus. Setiap kardus berisi kedua buah dalam jumlah yang sama. Berapa banyak masing-
    masing buah dalam setiap kardus?

• a. 8 kg jeruk dan 12 kg apel
• b. 12 kg apel dan 8 kg jeruk
• c. 7 kg jeruk dan 4 kg apel
• d. 4 kg jeruk dan 7 kg apel

16 = 24

28 = 2² × 7

FPB dari 16 dan 28 = 2² = 4

Banyak kardus yang digunakan adalah 4 buah.

Banyak jeruk = 16 kg : 4 = 4 kg

Banyak apel = 28 kg : 4 = 7 kg

Jadi, setiap kardus berisi 4 kg jeruk dan 7 kg apel.

9. Rita mempunyai 48 pita biru dan 56 pita putih. Rita akan membuat hiasan rambut dari 
    pita-pita itu. Setiap hiasan terdiri dari pita biru dan putih dalam jumlah yang sama. Berapa 
    jumlah pita biru dan putih pada setiap hiasan rambut?

• a. 6 pita biru dan 7 pita putih
• b. 7 pita biru dan 6 pita putih
• c. 8 pita biru dan 7 pita putih
• d. 7 pita biru dan 8 pita putih

48 = 24 × 3

56 = 2³ × 7

FPB dari 48 dan 56 = 2³= 8

Banyak hiasan rambut yang dibuat adalah 8.

Banyak pita biru = 48 : 8 = 6

Banyak pita putih = 56 : 8 = 7

Jadi, pada setiap hiasan Rita memakai 6 pita biru dan 7 pita putih.

10. Pak Heru memanen buah jeruk setiap 45 hari sekali dan memanen buah apel setiap 54 
      hari sekali. Jika pada awalnya Pak Heru memanen buah jeruk dan apel bersama-sama, 
      maka Pak Heru akan memanen buah jeruk dan apel bersama-sama setiap ....

• a. 180 hari
• b. 270 hari
• c. 360 hari
• d. 450 hari

45 = 3² × 5

54 = 2 × 3³

KPK dari 45 dan 54 = 2 × 3³ × 5 = 2 × 27 × 5 = 270

Jadi, Pak Heru akan memanen buah jeruk dan apel bersama-sama setiap 270 hari.

Soal Isian

1. Jumlah FPB dan KPK dari 24 dan 36 adalah ....

    24 = 2³ x 3
    36 = 2² x 3²
    FPB = 2² x 3 = 4 x 3 = 12
    KPK = 2² x 3² = 8 x 9 =72

    Jumlah FPB dan KPK = 12 + 72 = 84

2. Selisih FPB dan KPK dari 12, 24, dan 54 adalah ....

    12 = 2² x 3
    24 = 2³ x 3
    54 = 2 × 3³
    FPB = 2 x 3 = 6
    KPK = 2³ x 3³ = 8 x 27 = 216

    Slisih FPB dan KPK = 216 - 6 =210

3. Selisih FPB dan KPK dari 18 dan 27 adalah ....

    18 = 2 x 3²
    27 = 3³
    FPB = 3² = 9
    KPK = 2 x 3³ = 2 x 27 = 54

    Selisih FPB dan KPK = 54 - 9 = 45

4. FPB dari 96, 108, 124 adalah ....
    96   = 25 x 3 
    108 = 2² x 3³
    124 = 2² x 31

    FPB = 2² = 4

5. KPK dari 72, 80, dan 96 adalah ....

    72 = 2³ x 3²
    80 = 24 x 5 
    96  = 25 x 3 
    KPK = 25 x 3² x 5 = 32 x 5 x 9 =  1.440

6. Selisih KPK dan FPB dari 125 dan 150 adalah ....

    125 = 5³
    150 = 2 x 3 x 5²
    KPK = 2 x 3 x 5³ = 6 x 125 = 750
    FPB = 5² = 25

    Selisih KPK dan FPB = 750 -25 = 725

7. FPB dari 100, 150, dan 200 adalah ....

    100 = 2² x 5²
    150 = 2 x 3 x 5²
    200 = 2³ x 5²

    FPB = 2 x 5² = 50

8. KPK dari 108, 120, dan 140 adalah ....

    108 = 2² x 3³
    120 = 2³ x 3 x 5
    140 = 2² x 5 x 7
    KPK = 2³ x 3³ x 5 x 7 = 8 x 27 x 5 x 7 = 7.560

9. FPB dari 150, 175, dan 200 adalah ....
    150 = 2 x 3 x 5²
    175 = 5² x 7
    200 = 2³ x 5²

    FPB = 5² = 25

10. Jumlah FPB dan KPK dari 15 dan 25 adalah ....

       15 = 3 x 5
       25 = 5²
       FPB = 5
       KPK = 3 x 5² = 75

       Jumlah FPB dan KPK = 5 + 75 = 80

Soal Uraian

1. Ratna mempunyai 84 buku tulis dan 63 pensil. Ratna ingin menyumbangkan buku tulis 
    dan pensil yang ia miliki kepada anak-anak yang kurang mampu. Namun, ia ingin 
    membagikannya dalam bentuk paket yang setiap paketnya berisi buku tulis dan pensil 
    dalam jumlah yang sama. 

    a. Berapa paket buku tulis dan pensil yang dapat Ratna buat?

    b. Jika anak yang kurang mampu berjumlah 30 orang, berapa jumlah buku tulis dan pensil 
        yang harus Ratna sediakan lagi?

a. 84 = 2² × 3 × 7

    63 =3² × 7

    FPB = 3 × 7 =21.

    Jadi, Ratna dapat membuat 21 paket bukut tulis dan pensil.

b. Jumlah anak yang kurang mampu = 30 anak.

    Karena hanya tersedia 21 paket, maka hanya dapat diberikan kepada 21 anak.

    Sehingga kekurangannya 9 paket.

    Jumlah buku tulis pada 1 paket = 84 : 21 = 4 buah.

    Jumlah pensil pada 1 paket       = 63 : 21 = 3 buah.

    Jumlah kekurangan buku tulis  = 9 × 4 = 36 buah.

    Jumlah kekurangan pensil        = 9 × 3 = 27 buah.

    Jadi, jumlah buku tulis dan pensil yang harus Ratna sediakan lagi adalah 36 dan 27 buah.

2. Lonceng A berbunyi setiap 9 menit sekali. Lonceng B berbunyi setiap 6 menit sekali. 
    Sedangkan lonceng C berbunyi setiap 12 menit sekali.

    a. Setiap berapa jam ketiga lonceng tersebut berbunyi?

    b. Jika lonceng A, B, dan C berbunyi bersama pada pukul 06.00, kapan ketiga lonceng 
        tersebut berbunyi bersama lagi? 

    9 = 3²

    6 = 2 × 3

    12 = 2² × 3 

    KPK = 2² × 3² = 36 

    a. Ketiga lonceng A, B, dan C berbunyi bersama setiap 36 menit sekali.

    b. Lonceng A, B, dan C berbunyi bersama setelah 36 menit lagi dari pukul 06.00, yaitu 
        pukul 06.36.

3. Untuk merayakan hari raya, ibu ingin membagikan paket berupa bahan makanan kepada 
    orang yang membutuhkan. Karena itu, ibu berbelanja membeli 90 kg telur, 135 kg beras, 
    dan 180 kg gula pasir. Dalam satu paket berisi ketiga bahan makanan dalam jumlah yang 
    sama.

    a. Berapa paket yang dapat ibu buat?

    b.Jika ternyata jumlah orang yang diberi bantuan sebanyak 50 orang, cukupkah paket 
       bahan makanan yang ibu buat? Jika tidak cukup, berapa jumlah masing-masing bahan 
       makanan yang harus ibu beli lagi?

       a. 90   = 2 × 3² × 5

          135 = 3² × 5 

          180 = 2² × 3² × 5

          FPB = 3² × 5 = 9 × 5 = 45.

          Jadi, ibu dapat membuat 45 paket.

      b. Jumlah orang yang diberi bantuan = 50 orang.

          Karena jumlah paket yang ibu buat sebanyak 45 buah, maka paket bahan makanan itu 
          belum cukup.

          Kekurangan paket bahan makanan  = 50 - 45 = 5 paket.

          Jumlah telur pada setiap paket          = 90 kg : 45 = 2 kg.

          Jumlah beras pada setiap paket        = 135 kg : 45 = 3 kg.

          Jumlah gula pasir pada setiap paket = 180 kg : 45 = 4 kg.

          Kekurangan telur           = 5 × 2kg = 10 kg.

          Kekurangan beras        = 5 × 3 kg = 15 kg.

          Kekurangan gula pasir = 5 × 4 kg = 20 kg.

          Jadi, jumlah masing-masing bahan makanan yang harus ibu beli lagi adalah telur 10 kg, 
          beras 15 kg, dan gula pasir 20 kg.

4. Kiki mengikuti kursus tari setiap 7 hari sekali, Rahma mengikuti kursus tari setiap 6 hari 
     sekali, dan Dian mengikuti kursus tari setiap 9 hari sekali. Pada tanggal 10 Juni 2010, 
    mereka mengikuti kursus tari bersama.

    a. Setiap berapa kali mereka akan mengikuti kursus tari bersama?

    b. Kapan mereka akan mengikuti kursus tari bersama untuk yang kedua kalinya?

    a.  7 = 7

         6 = 2 × 3

         9 = 3² 

         KPK dari 7, 6 dan 9 = 7 × 2 × 32 = 126.

         Jadi, mereka akan kursus tari bersama setiap 126 hari.

    b. 10 + 126 = 136 - 30 (Juni) = 106 - 31 (Juli) = 75 - 31 (Agustus) = 44 - 30 (September) 
         = 14 (Oktober).

        Jadi, mereka akan mengikuti kursus tari bersama untuk yang kedua kali pada tanggal 
        14 Oktober 2010.

5. Bus merah berhenti di halte A setiap 30 menit sekali. Bus hijau berhenti di halte A setiap 
    50 menit sekali. 

    a. Setiap berapa kali kedua bus akan berhenti di halte A?

    b. Jika kedua bus pertama kali berhenti bersama di halte A pada pukul 08.30, pukul 
        berapa kedua bus itu akan berhenti lagi di halte A untuk ketiga kalinya?

a. 30 = 2 × 3 × 5 

    90 = 2 × 3² × 5

    KPK = 2 × 3² × 5 = 90 menit.

    Jadi, kedua bus akan berhenti di halte A setiap 90 menit atau 1jam 30 menit.

b. Kedua bus berhenti bersama di halte A pertama kali pukul 08.30.

    Kedua bus berhenti bersama di halte A ketiga kali pukul 08.30 + 2 × 90 menit = 08.30 + 
    180 menit = 08.30 + 3 jam = 11.30.

    Jadi, kedua bus itu akan berhenti lagi di halte A untuk ketiga kalinya pukul 11.30.