Soal Menentukan KPK dan FPB

Menggunakan faktor prima untuk menentukan KPK dan FPB. Faktor prima adalah bilangan bulat yang merupakan bilangan prima, sedangkan faktorisasi prima adalah perkalian semua faktor prima dari suatu bilangan. Dalam matematika, Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan adalah bilangan bulat positif terbesar yang dapat membagi habis kedua bilangan itu.Cara sederhana dapat digunakan untuk mencari FPB dari 2 atau 3 bilangan yang tidak terlalu besar, namun untuk bilangan yang lebih besar sebaiknya menggunakan cara faktorial. Sedangkan Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari dua bilangan adalah bilangan bulat positif terkecil yang dapat dibagi habis oleh kedua bilangan itu. Berikut ini contoh soal menentukan FPB dan KPK.

1. Wawan menyervis sepeda motornya setiap 2 bulan sekali. Galang menyervis sepeda motornya setiap 3 bulan sekali. Jika Wawan dan Galang menyervis sepeda motornya pada bulan April, kapan lagi mereka akan menyervis sepeda motornya?

• a. Desember
• b. November
• c. Oktober
• d. September

KPK dari 2 dan 3 adalah 6.

Jadi, Wawan dan Galang akan bersama-sama menyervis sepeda motor lagi 6 bulan kemudian, yaitu bulan Oktober.

2. Faktor persekutuan dari 64 dan 90 adalah ....

• a. 1, 2, 3
• b. 1, 2, 4
• c. 2 dan 5
• d. 1 dan 2

Faktor dari 64 = 1, 2, 4, 8, 16, 32, dan 64.

Faktor dari 90 = 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, dan 90.

Faktor persekutuan dari 64 dan 90 adalah 1 dan 2.

3. Kelipatan persekutuan dari 12 dan 20 yang kurang dari 200 adalah ....

• a. 60, 120, 180
• b. 60, 80, 180
• c. 24, 120, 192
• d. 24, 80, 192

Kelipatan 12 = 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, 168, 180, 192, ...

Kelipatan 20 = 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200, ...

Kelipatan persekutuan dari 12 dan 20 adalah 60, 120, 180, ....

Jadi, kelipatan persekutuan dari 12 dan 20 yang kurang dari 200 adalah 60, 120, 180.

4. FPB dari 50 dan 70 adalah ....

• a. 2
• b. 5
• c. 10
• d. 25

50 = 2 × 52

70 = 2 × 5 × 7

FPB dari 50 dan 70 = 2 × 5 = 10

5. Nenek mempunyai 80 bungkus mie instan dan 120 bungkus teh. Kemudian nenek memasukkan mie instan dan teh tersebut pada beberapa kantong plastik untuk disumbangkan pada korban banjir. Jika setiap kantong berisi mie instan dan teh dalam jumlah yang sama, berapa jumlah kantong plastik paling banyak yang dibutuhkan nenek?

• a. 10 kantong
• b. 20 kantong
• c. 40 kantong
• d. 80 kantong

80 = 24 × 5

120 = 23 × 3 × 5

FPB = 23 × 5 = 40

Jadi, jumlah kantong plastik terbanyak yang dibutuhkan nenek adalah 40 kantong.

6. Faktor prima dari 720 adalah ....

• a. 2, 3, dan 5
• b. 2, 3, dan 7
• c. 3, 5, dan 7
• d. 2 dan 5

Faktor prima dari 720 adalah 2, 3, dan 5.

7. Faktor persekutuan dari 120 dan 90 adalah ....

• a. 1, 2, 3, 10, 15, 30
• b. 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
• c. 1, 2, 3, 6, 10, 15
• d. 1, 5, 6, 10, 15, 30

Faktor dari 120: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

Faktor dari 90: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90

Faktor persekutuan dari 120 dan 90 adalah 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

8. Faktor dari 72 adalah ....

• a. 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36
• b. 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
• c. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
• d. 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

Faktor dari 72 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, dan 72.

9. FPB dan KPK dari 90 dan 160 adalah ....

• a. 5 dan 1.440
• b. 5 dan 144
• c. 10 dan 1.440
• d. 10 dan 144

90 = 2 × 32 × 5

160 = 25 × 5

FPB = 2 × 5 = 10

KPK = 25 × 32 × 5 = 1.440

10FPB dari 150 dan 165 adalah ....

• a. 5
• b. 10
• c. 15
• d. 20

150 = 2 × 3 × 52

165 = 3 × 5 × 11

FPB dari 150 dan 165 = 3 × 5 = 15.

Soal Isian
1. Bentuk 2² × 3 × 5³ merupakan faktorisasi prima dari ....
    2² × 3 × 5³= 4 x 3 x 125 = 1.500
2. Selisih KPK dan FPB dari 56 dan 98 adalah ....
    56 = 2³ x 7
    98 = 2 x 7²
    KPK = 2³ x 7² = 392
    FPB = 2 x 7 = 14
    Selisih KPK dan FPB = 392 - 14 = 378
3. KPK dari 50 dan 70 adalah ....
    50 = 2 x 5²
    70 = 2 x 5 x 7
    KPK = 2 x 5² x 7 = 350
4. Bentuk 3 × 5² × 11 merupakan faktorisasi prima dari ....
    3 × 5² × 11  = 825
5. KPK dan FPB dari 26 dan 65 adalah ....
    26 = 2 x 13
    65 = 5 x 13
    KPK = 2 x 5 x 13 = 130
    FPB = 13
6. FPB dari 150 dan 200 adalah ....
    150 = 2 x 3 x 5²
    200 = 2² x 5² 
    FPB =2 x 5² = 50
7. Faktorisasi prima dari 246 adalah ....
    2 × 3 × 41
8. Bentuk 3² × 5² × 7 merupakan faktorisasi prima dari ....
    3² × 5² × 7 = 9 x 25 x 7 = 1.575
9. Selisih KPK dan FPB dari 125 dan 375 adalah ....
    125 = 5³
    375 = 3 x 5³
    KPK = 3 x 5³ = 375
    FPB = 5³ = 125
    Selisih KPK dan FPB = 375 - 125 = 250
10. Faktorisasi prima dari 250 adalah ....
    2 × 5³

Soal Uraian

1. Tentukan FPB dari bilangan-bilangan berikut.
    a. 40 dan 70
    b. 50 dan 85
    c. 90 dan 120
   40 = 2³ × 5, 70 = 2 × 5 × 7
   FPB = 2 × 5 = 10
    50 = 2 × 5²
    85 = 5 × 17 
    FPB = 5
    90 = 2 × 3² × 5 
    120 = 2³ × 3 × 5 
    FPB = 2 × 3 × 5 = 30

2. Tentukan FPB dan KPK dari bilangan-bilangan berikut.
    a. 48 dan 56
    b. 18 dan 24
    c. 28 dan 42
    48 = 24 × 3
    56 = 2³ × 7
    FPB = 2³ = 8
    KPK = 24 × 3 × 7 = 336
    18 = 2 × 3²    24 = 2³ × 3
    FPB =  2 × 3 = 6
    KPK = 23 × 3² = 72
    28 = 2² × 7 
    42 = 2 × 3 × 7
    FPB = 2 × 7 = 14
    KPK = 2² × 3 × 7 = 84
3. Setiap 8 hari sekali Dito mengikuti kursus vokal. Dina mengikuti kursus vokal setiap 6 hari 
    sekali. Sedangkan Hana mengikuti kursus vokal setiap 5 hari sekali. Jika pada tanggal 1 
   Juli mereka mengikuti kursus vokal bersama, kapan mereka akan mengikuti kursus vokal 
   bersama lagi?
   8 = 2³, 6 = 2 × 3,  5 = 5 , KPK = 2³ × 3 × 5 = 120   Jadi, mereka akan mengikuti kursus vokal bersama 120 hari lagi setelah tanggal 1 Juli, 
   yaitu tanggal 29 Oktober. 
4. Untuk hidangan pesta, bibi membeli 160 potong ayam bakar, 180 potong bebek goreng, 
    dan 200 ekor ikan bakar. Ketiga makanan tersebut akan dihidangkan dalam piring. Setiap 
    piring berisi ayam bakar, bebek goreng, dan ikan bakar dalam jumlah yang sama. Berapa 
    jumlah piring paling banyak yang diperlukan bibi?
    160 = 25 × 5, 180 = 2² × 3² × 5, 200 = 2³ × 5², FPB = 2² × 5 = 20    Jadi, jumlah piring paling banyak yang diperlukan bibi adalah 20 buah. 
5. Tentukan KPK dari bilangan-bilangan berikut.
    a. 24 dan 27
    b. 32 dan 48
    c. 35 dan 49
    24 = 2³ × 3, 27 = 3³, KPK = 2³ × 3³ = 216    32 = 25, 48 = 24 × 3, KPK = 25 × 3 = 96
    35 = 5 × 7, 49 = 7², KPK = 5 × 7² = 245